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19 de Maio de 2017 Ultima atualização: 17 de agosto de 2018

Como são definidos os preços do Tesouro Direto? Parte 1: Tesouro Selic

19 de Maio de 2017

Em um artigo anterior, sobre o conceito de duration, explicamos o que é um título público, e como o tempo médio até o vencimento de cada título afeta as oscilações no seu valor (ou preço de mercado). Isso gera outras perguntas: como se calculam os preços dos diferentes tipos de títulos? Quais variáveis afetam os preços de cada tipo de título, e de que maneira? Este artigo lida justamente com essas questões.

Há três tipos de títulos no Tesouro Direto: Tesouro Selic, Tesouro Prefixado e Tesouro IPCA+. Neste artigo, que inaugura uma série, explicaremos a precificação do primeiro tipo. Nos próximos artigos, vamos abordar a precificação das outras duas classes de títulos.

Veja também:
Como são definidos os preços do Tesouro Direto? Parte 2: Tesouro Prefixado
Como são definidos os preços do Tesouro Direto? Parte 3: Tesouro IPCA+

Precificação do Tesouro Selic

Os títulos Tesouro Selic (LFT) têm a precificação mais simples entre as três classes. Resumidamente, o valor de um título Selic sobe no ritmo ditado pelo valor da taxa Selic, que é a taxa básica de juros determinada pelo Banco Central.

No momento em que escrevo este artigo a taxa Selic está em 11,25% ao ano. Isso significa que se a taxa Selic ficasse parada nesse nível, então cada título do tipo Tesouro Selic valeria daqui a um ano 11,25% a mais do que vale hoje.

O Tesouro Selic sobe no ritmo ditado pelo valor da taxa Selic, que é a taxa básica de juros

Para dar um exemplo usando números redondos, suponha: (a) que um certo título Tesouro Selic vale exatamente R$ 100 hoje; (b) que a Selic esteja hoje em 10%; e (c) que a Selic continue nesse patamar durante um ano. Então daqui a um ano o título vai valer

R$ 100 x (100% + 10%) =
R$ 100 x 1,1 =  
R$ 110

(Lembrando que para efeitos de multiplicação “100%” corresponde a 1, e “10%” corresponde a 0,1. De maneira mais geral: “X%” corresponde a X/100.)

Agora vamos partir para um exemplo um pouco mais elaborado.

Suponha, como fizemos antes, que temos um título que vale inicialmente R$ 100, mas consideramos agora um período de dois anos. Durante o primeiro ano a Selic fica em 10%, e no começo do segundo ela cai para 7,5%. Qual será o preço daqui a dois anos?

Vamos lá: como vimos, daqui a um ano ele vai valer

R$ 100 x (100% + 10%) =
R$ 100 x 1,1 =  
R$ 110

E um ano depois disso esses R$ 110 vão se transformar em

R$ 110 x (100% + 7,5%) =
R$ 110 x 1,075 =  
R$ 118,25

Beleza. E se no início do segundo ano a Selic tivesse ido de 10% para 15%? Nesse caso o preço final do título seria de

R$ 110 x (100% + 15%) =
R$ 110 x 1,15 =  
R$ 126,50

A figura abaixo mostra três trajetórias de preços para um mesmo título. No primeiro ano, as três trajetórias coincidem, com a Selic parada em 10% e portanto o valor do título aumentando nessa mesma proporção. No começo do segundo ano os cenários divergem: num cenário (azul) a Selic fica em 10%, em outro (verde) ela cai para 7,5% e no terceiro (dourado) ela sobre para 15%.

Gráfico de precificação do Tesouro Selic

Ainda que seja um pouco difícil enxergar no caso das duas curvas inferiores, as três linhas são ligeiramente curvadas para cima (ou “convexas”, como se diz em matematiquês). Taxas de juros mais altas correspondem a trajetórias de preços mais curvadas.

Nota técnica: Nos exemplos acima, para simplificar consideramos que a mudança na taxa de juros coincidiu com uma virada no ano.

 

É claro que na vida real não é assim que acontece. Para mudanças de juros dentro de um ano precisamos trabalhar com médias geométricas. Por exemplo, se o preço inicial é R$ 100 e após seis meses a taxa vai de 10% para 15%, então no final do ano o título vale

R$ 100 x (1,1)0,5 x (1,15)0,5 = R$ 112,47,

 

onde a potência “0,5” indica que a mudança de juros aconteceu na metade do ano, ou seja, após seis meses.

 

Em geral, supondo um preço inicial Pi, uma taxa de juros inicial R1, e uma nova taxa de juros R2 a partir de M meses, então o preço Pf ao final do ano será igual a

 

Pi x (1 + R1)M/12 x (1 + R2)(12-M)/12

 

(Vou poupar vocês da fórmula mais geral possível, que admite K diferentes taxas de juros em N diferentes períodos. Se você curte matemática você já pegou o espírito da coisa.)

Na prática

Ao acessar o site do Tesouro Direto, encontramos uma tabela com os preços e taxas dos títulos disponíveis para investir. No dia 17/05/2017, este era o título do tipo Tesouro Selic que estava disponível:

Tabela de taxa do Tesouro Selic

Nessa data, cada unidade do título Tesouro Selic 2023 (LFT) valia exatamente R$ 8.784,92, como indicado na coluna “Preço Unitário”. A coluna “Valor Mínimo” indica o valor da menor fração negociada do título, que no caso é de um centésimo de um título. Assim como podemos comprar fatias de uma torta, investidores podem comprar pedacinhos de um título. E a “Taxa de Rendimento” indica um pequeno percentual que se soma à taxa Selic (pós-fixada) para determinar o rendimento.

No início da série Tesouro Selic, no dia 01/07/2000, o valor-base dos títulos Selic era de R$ 1.000,00. Ao longo do tempo esse valor foi sendo devidamente corrigido pela evolução da Selic; o valor corrigido é denominado o VNA (Valor Nominal Atualizado) do título. De lá pra cá, a Selic rendeu exatamente

R$ 8.784,92 / R$1.000,00 – 1 =
8,78492 – 1 =
778,492%

Esses 779% correspondem aos juros acumulados desde 01/07/2000.

Vamos ilustrar essa precificação com números redondos (e fictícios). Digamos que a média da Selic foi de 15% durante o primeiro ano da série, de 01/07/2000 até 01/07/2011. Nesse caso, no dia 01/07/2001, o título valia

R$ 1.000,00 x (1 + 15%) =
R$ 1.000,00 x (1,15) =
R$ 1.150,00   

Se ao longo do ano seguinte a média da Selic ficou em 12,5%, então no dia 01/07/2002 o título valia

R$ 1.150,00  x (1 + 12,5%) =
R$ 1.150,00 x (1,125) =
R$ 1.293,75

E assim por diante, até o valor alcançar R$ 8.784,92 no dia 17/05/2017.

Para ver a evolução dos preços dos títulos Tesouro Selic (LFT) no passado e uma projeção de rentabilidade futura, acesse o Simulador do Tesouro Direto.

Conclusão

É importante ressaltar que os exemplos usados no artigo incorporam algumas simplificações para facilitar a didática. Não levei em conta o spread, que é a diferença (normalmente bastante pequena) entre os preços de compra e venda de um título. Outra simplificação é que a rigor os preços dos títulos Tesouro Selic são atualizados não pela “meta de Selic”, que é a taxa que aparece nas manchetes dos jornais, e sim pela “Selic do dia”, que pode destoar ligeiramente da Selic meta.

Além disso, as contas foram feitas em cima do número de anos passados, quando na prática elas são feitas em cima do número de dias úteis transcorridos. Detalhes como esses à parte, as ideias essenciais de precificação dos títulos Tesouro Selic estão aqui.

Pronto! Agora você já sabe como se calculam os preços dos títulos Selic.

Minha consultoria, a SLQ Soluções Quantitativas, tem a expertise de analisar e entender o comportamento fino de um conjunto de ativos financeiros. Aliás, foi assim que começou a relação com a Vérios. As questões envolvidas em projetos para nossos clientes geralmente são tecnicamente sofisticadas, o que se por um lado traz desafios interessantes, por outro pode ser um tanto árido. Então escrever artigos como este, que explicam em termos acessíveis o feijão-com-arroz da área, tem um lado divertido: volto momentaneamente a colocar o chapéu de professor que por tantos anos usei.

Até o próximo!

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Autores

Economista pela PUC-Rio e doutor em Matemática pelo IMPA, colabora com o time de Estratégia de Investimento da Vérios. Flavio é sócio-proprietário da consultoria SLQ Soluções Quantitativas e possui certificação CGA

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