Como são definidos os preços do Tesouro Direto? Parte 2: Tesouro Prefixado

Há três tipos de títulos no Tesouro Direto: Tesouro Selic, Tesouro Prefixado e Tesouro IPCA+1. No artigo anterior sobre precificação de títulos públicos explicamos como se determina o preço de um título do tipo Tesouro Selic. Neste artigo, nosso foco será a precificação do segundo tipo, o Tesouro Prefixado, que em termos de complexidade é intermediário entre o Tesouro Selic e o mais complicado dos três, o Tesouro IPCA+ (que será o próximo e último da série de artigos).

Precificação do Tesouro Prefixado

Um título prefixado tem um comportamento muito diferente se comparado a um título pós-fixado, caso do Tesouro Selic. Um prefixado paga na sua data de vencimento um valor nominal predeterminado — daí o nome da classe — ao seu detentor. Por exemplo, se hoje você comprar uma unidade do título Tesouro Prefixado 2019, então você terá direito a receber exatamente R$ 1.000 na data do seu vencimento, o dia 01/01/2019.

Veja também:
Como são definidos os preços do Tesouro Direto? Parte 1: Tesouro Selic
Como são definidos os preços do Tesouro Direto? Parte 3: Tesouro IPCA+

Isso significa que esse título vale exatamente R$ 1.000 hoje? Não! Se a gente parar pra refletir um pouquinho, é claro que um título que vai valer R$ 1.000 daqui a anos tem que ter hoje algum valor menor do que R$ 1.000. Afinal, inflação existe. E juros também.

Se você tiver R$ 1.000 na mão hoje, você pode colocar esse dinheiro num CDB (ou num título Tesouro Selic, ou até na poupança2) e daqui a 17 meses seu dinheiro vai valer bem mais do que R$ 1.000. Só alguém sem noção compraria o Prefixado 2019 por R$ 1.000!

Bem, então qual seria o valor correto? A resposta é: depende. Especificamente, depende do que você acredita que vai acontecer com os juros no futuro, entre hoje e o vencimento do título.

Para simplificar a conta (depois a gente a volta a complicar), imagine que você está pensando em comprar hoje um título prefixado que vai pagar R$ 1.000 no seu vencimento daqui a exatamente um ano. E digamos que você acha que os juros (anuais) de hoje até o vencimento vão ser de exatamente 10%.

Qual valor P você está disposto a pagar por esse título? A resposta é: o valor que daqui a um ano, rendendo juros de 10% ao ano, vai corresponder a exatamente R$ 1.000. Em matematiquês, precisamos resolver a seguinte equação:

(100% + 10%) x P = R$ 1.000,

onde P é o preço que você estaria disposto a pagar.

A equação se reduz a

1,1 x P = R$ 1.000.

Dividindo os dois lados por 1,1, temos:

P = 1.000/1,1 = R$ 909,09

Ou seja, dada a sua expectativa relativa aos juros futuros, o valor “justo”3 para você é R$ 909,09.

A expectativa de juros que é praticada no mercado depende da opinião coletiva de todos os vendedores e compradores do título

É claro que no mundo real a expectativa de juros médios que é praticada no mercado não depende só da sua opinião, e sim da opinião coletiva de todos os vendedores e compradores deste título. Essa coleção de opiniões é agregada num único juro esperado via o bom e velho mecanismo de oferta e demanda.

E o que acontece se houver alguma novidade — um aumento na inflação, por exemplo — que faça com que a expectativa (coletiva) de juros futuros aumente? Nesse caso, o preço atual do título vai cair. Digamos que a taxa de juros esperados para o próximo ano suba de 10% para 20%. Nesse caso o valor justo é dado pela solução P* da equação

(100% + 20%) x P* = R$ 1.000,

portanto:

P* = 1.000/1,2 = R$ 833,33

Inversamente, se os juros esperados caírem de 10% para 5%, então o preço atual vai subir para

P** = 1.000/1,05 = R$ 952,38

O valor no vencimento não muda

Ressaltamos que o valor final de um título prefixado independe de como os juros oscilam entre hoje e o vencimento. Você vai sempre receber exatamente R$ 1.000 quando o título vencer. Se você comprou um título que vence daqui a um ano por R$ 909,09, então segurando o título até o vencimento você vai ter um rendimento de exatamente 10%, pois

(R$ 1.000 / R$ 909,09) – 100% = 10%

Cabe uma ressalva importante quanto a esse rendimento “garantido”: ele está expresso em termos nominais, sem descontar a inflação. Se a inflação acumulada entre hoje e o vencimento for de 10%, na verdade você ficou no zero a zero em termos reais, de poder de compra. Se a inflação ficou abaixo de 10%, você teve um ganho real. E se a inflação acumulada ficou acima de 10%, então você teve uma perda real: aqueles R$ 1.000 daqui a um ano na prática valerão menos do que os R$ 909,09 que você pagou hoje.

A fórmula geral para precificar um título prefixado que vence daqui a exatamente um ano é a seguinte:

P = V / (100% + R%),

onde P é o valor atual do título, V é quanto o título vai pagar4 na sua data de vencimento, e R% é a taxa de juros média esperada (pelo mercado como um todo) entre hoje e o vencimento do título.

Quanto maiores os juros, mais caros ficam os títulos Tesouro Selic e mais baratos ficam os títulos Tesouro Prefixado

Repare que as relações entre os preços dos títulos Tesouro Prefixado e Tesouro Selic e as taxas de juros são invertidas. Quanto mais altos forem os juros no mercado, mais caros ficam os títulos Selic; ao passo que quanto mais subirem as expectativas de juros futuros, mais baratos ficam os títulos Prefixados. Note também que a aceleração dos títulos Selic é gradual mesmo que os juros subam muito e subitamente, enquanto que subidas de juros reduzem bruscamente (e quedas de juros aumentam bruscamente) o valor dos títulos Prefixados.

Nota técnica: Até agora só trabalhamos com exemplos de títulos prefixados que vencem em um ano. E se o tempo até o vencimento for maior ou menor do que um ano? Nesse caso, a fórmula passa a ser a seguinte:

 

P = V / (100% + R%)T,

 

onde P é o valor atual do título, V é quanto o título vai pagar na sua data de vencimento, R% é a taxa de juros média esperada (pelo mercado como um todo) entre hoje e o vencimento do título, e T é o tempo (medido em anos) entre hoje e a data de vencimento do título.

 

Dois exemplos rápidos usando a fórmula acima:

 

1. Digamos que um título A pague R$ 1.000 daqui a dois anos, e que a taxa média de juros esperada pelo mercado de hoje até o vencimento seja de 10% (ao ano). Nesse caso o preço PA do título hoje é igual a

 

PA = R$ 1.000 / (100% + 10%)2 =
1.000 / 1,12 =
1.000 / 1,21 =
R$ 826,45

 

2. Considere agora um título B que vai pagar R$ 1.000 daqui a oito meses e suponha que a taxa média de juros esperada pelo mercado de hoje até o vencimento seja de 15% (ao ano). Repare que oito meses correspondem a dois terços de um ano5. Nesse caso, o preço PB desse título hoje é igual a

 

 

PB = R$ 1.000 / (100% + 15%) =
1.000 / 1,15 =
1.000 / 1,097 =
R$ 911,03

A trajetória de preços de um título Tesouro Prefixado é diferente da de um título Tesouro Selic, que sempre sobe suavemente, com maior ou menor inclinação dependendo do nível dos juros. A sensibilidade de um título prefixado com relação aos juros (esperados) faz com que seu preço oscile bastante, caindo quando os juros esperados sobem e subindo quando os juros esperados caem. O grau dessa sensibilidade depende do duration, sobre o qual já escrevemos.

Agora vamos olhar dois gráficos para entender visualmente a precificação dos títulos prefixados.

Como se “enxerga” o nível da taxa de juros nesse gráficos? Para se chegar a um valor preciso precisamos fazer contas como as explicadas acima, mas visualmente a taxa de juros (projetada até o vencimento pela mercado) em uma data D é basicamente proporcional à inclinação da reta que liga o preço naquela data com o valor final (no caso, R$ 1.000) que será na data de vencimento.

O primeiro gráfico mostra a série de preços de um título de verdade, o Tesouro Prefixado 2019, que vence no dia 01/01/2019.

Gráfico de precificação de um título público do tipo Tesouro Prefixado

Repare que a linha de preços (em azul marinho), em vez de suave, é altamente irregular, como as montanhas de uma serra. Cada solavanco para cima dessa serra de preços corresponde a um momento no qual o mercado por alguma razão concluiu que a média dos juros entre aquela data e a data de vencimento iria cair. Simetricamente, cada solavanco para baixo nos preços corresponde a um momento no qual o mercado concluiu que a média dos juros entre aquela data e a data de vencimento iria subir.

A inclinação da reta (dourada e pontilhada) que liga o preço mais recente da série histórica, que foi de R$ 862 no dia 27/04/2017, ao preço final no vencimento, de R$ 1.000 no dia 01/01/2019, corresponde a uma taxa de juros média esperada de 9,34% entre 27/04/2017 e 01/01/2019.

Mas o mercado nem sempre apostou nessa taxa de juros de 9,34% até o vencimento.

Gráfico de projeção do título Tesouro Prefixado 2019

Se entrássemos numa máquina do tempo e voltássemos para uma data em que o mercado estava mais pessimista, o dia 30/05/2016, acreditava-se que os juros daquela data até o vencimento do título em 01/01/2019 seriam bem mais altos, de 12,95%. O resultado é que a reta (verde e pontilhada) que liga o gráfico em 30/05/2016 ao gráfico no vencimento 01/01/2019 é bem mais inclinada6 do que a reta (dourada) que começa no dia 27/04/2017.

Na prática

Ao acessar o site do Tesouro Direto, encontramos uma tabela com os preços e taxas dos títulos para investir. No dia 02/06/2017, estes eram os títulos do tipo Tesouro Prefixado (LTN) disponíveis:

Tabela com preços e taxas dos títulos do tipo Tesouro Prefixado disponíveis

Vamos nos concentrar no caso do Tesouro Prefixado 2020. Nessa data, cada unidade deste título valia R$ 783,84, como indicado na coluna “Preço Unitário”. A coluna “Valor Mínimo” indica o valor da menor fração negociada do título. Assim como podemos comprar fatias de uma torta, investidores podem comprar pedacinhos de um título.

A “Taxa de Rendimento” indica a taxa de rentabilidade (nominal) anual que corresponde ao título. Os 9,95% que aparecem na tabela vêm da seguinte conta: como o Tesouro Prefixado paga exatamente R$ 1.000 e o título valia R$ 783,84 no dia 02/06/2017, então sua rentabilidade acumulada até o vencimento será de

R$ 1.000,00 / R$ 783,84 – 1 =
1,2758 – 1 =
27,58%

Então como há 2,58 anos entre o dia 02/06/2017 e a data do vencimento do título, que é o dia 01/01/2020, segue que a rentabilidade anualizada do título é dada por 9,95%, como indicado na tabela, pois

Rendimento de 9,95% ao longo de 2,58 anos =
(1 + 0,0995)2,58 =
1,09952,58 =
1,2758 =
(1 + 0,2758) =
Rendimento acumulado de 27,58%

Ou seja, uma aplicação que rende 9,95% ao ano rende 27,58% acumulados ao longo de um pouco mais de dois anos e meio7.

Para ver a evolução dos preços dos títulos Tesouro Prefixado (LTN e NTNF) no passado e uma projeção de rentabilidade futura, acesse o Simulador do Tesouro Direto.

Conclusão

Os exemplos deste artigo incorporam algumas simplificações para facilitar a didática. Assim como no artigo sobre títulos Tesouro Selic, não levei em conta o spread, a diferença (normalmente bastante pequena) entre os preços de compra e venda de um título. Falei apenas em “juros médios esperados”, sem entrar em minúcias sobre a curva de juros, que pode especificar diferentes níveis de juros esperados para diferentes pontos no futuro. E por aí vai. Mas detalhes como esses à parte, as ideias essenciais de precificação de títulos estão todas aqui.

A principal simplificação foi supor que os títulos não pagam cupons de juros8, que são pagamentos periódicos de valor fixo que ocorrem antes do vencimento do título. Na vida real alguns títulos prefixados pagam cupons, e outros não. Cupons complicam as contas de precificação. Por exemplo, um título que paga anualmente cupons de 10% do seu valor final pode valer mais do que R$ 1.000, dependendo da taxa esperada de juros até o vencimento. Além de complicar um pouco as contas de precificação, cupons são relevantes para a distinção entre duration e tempo até o vencimento de um título, mas as ideias e conceitos que valem para títulos com cupons são os mesmos que valem para os títulos sem cupons que usamos como exemplo.

No próximo e último artigo desta série explicarei como funciona a precificação dos títulos Tesouro IPCA+, que de certa forma funde as ideias das precificações das classes Selic e Prefixado. Mas agora você já sabe o suficiente para impressionar os amigos sempre que o assunto precificação de títulos públicos surgir na mesa do bar9.

Esses nomes são relativamente novos. Até 2015 os títulos da classe Prefixado eram chamados de LTN ou NTNF, dependendo das suas características específicas, os da classe Selic eram chamados de LTF, e os da classe IPCA+, de NTNB. Saiba mais sobre a mudança nos nomes dos títulos.

Mas, pelamordedeus, não faça isso.

Em financês, o que fizemos aqui, e vamos fazer nas outras contas sobre prefixados, foi trazer os pagamentos futuros do título para o valor presente.

Em financês, V é o valor de face do título.

5 Para simplificar nossa vida, vamos fingir que todos os meses têm o mesmo número de dias. Na vida real teríamos que contar o número de dias (úteis) nesses meses dividido pelo número de dias (úteis) no ano. (Até mesmo isso é uma simplificação, há outras pequenas sutilezas, mas deixa pra lá.)

De fato, se você medir com uma régua, você vai ver que a inclinação da reta verde é aproximadamente 39% maior do que a da reta dourada, pois 12,95% / 9,34% = 1,3865 = 139,65%.

A conta para a NTNF, um tipo de prefixado que rende juros semestrais (cupons) é um pouco mais complicada, mas segue o mesmo princípio.

Não confundir com a taxa de juros esperada até o vencimento, sobre a qual já falamos. Pra evitar confusão vou usar apenas “cupons” a partir de agora.

Ou seja, nunca.

Como são definidos os preços do Tesouro Direto? Parte 2: Tesouro Prefixado
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Categorias: Intermediário, Avançado, Títulos públicos
  • Bruno Cardoso

    Artigo bem didático. Valeu a leitura!!!

    • Flavio Abdenur

      Obrigado, Bruno! 🙂

  • carla

    Olá, gostaria de saber como eu faço para calcular a rentabilidade de um papel que é “CDI + X”. Exemplo: comprei o CRA Apice Agroterenas que paga CDI + 1,40%. Como eu calculo a rentabilidade nominal mensal e % do CDI?

    • Ana Vitória Baraldi

      Oi Carla, boa tarde!
      Tudo bem?

      Depende de quanto for o CDI no período que você estiver analisando.
      Vamos usar como exemplo o valor de hoje: 10,14% (você encontra o valor do CDI no site da CETIP – https://www.cetip.com.br/)

      Dessa forma, em um ano a rentabilidade do seu CRA será de 10,14% + 1,40%, ou seja, 11,54%.

      Espero que tenha ajudado!

      Abraços,
      Aninha

  • Eric Santos

    Aninha sempre mandando muito bem nos textos. Gostei bastante. Beijos

  • Eric Santos

    Muito bom o texto, bem explicado. Na espera do texto sobre o IPCA + .