Uma receita para otimizar seus investimentos

imagem de ingredientes e utensílios com texto "a receita perfeita para seus investimentos"

Você poupou uma quantia razoável e, depois de deixar esse dinheiro algum tempo no seu banco, resolveu que era hora de investir melhor. Hora de diversificar.

Depois de estudar um pouco sobre diversificação de investimentos, você se pergunta: em que alocar meus recursos? Como dividir entre diferentes tipos de ativos financeiros? Existe uma receita mágica para melhorar o desempenho dos meus investimentos?

Embora não exista uma receita mágica, existe sim uma receita matemática para combinar seus investimentos de forma a otimizar o desempenho da sua carteira. Uma parte central dessa receita — e o tema desse artigo — é a fronteira eficiente de Markowitz.

As bases da fronteira eficiente

A fronteira eficiente faz parte da Teoria Moderna do Portfólio, um modelo matemático de construção de carteiras de investimento que otimiza a alocação dos ativos para obter o melhor retorno possível para cada nível de risco (daí  o “eficiente”; logo mais você vai entender o porquê da “fronteira”).

Fazendo uma analogia com o universo da culinária, podemos pensar a fronteira eficiente como uma boa receita. Ela indica as proporções perfeitas dos ingredientes – que, no caso, são as diversas classes de ativos financeiros. No “modo de fazer” dessa receita entram a análise conjunta do risco e do retorno de cada classe (relação risco-retorno) e de como o comportamento de cada classe tende a influenciar as outras (correlação).

Balanceando risco e retorno

Vamos começar com um exemplo prático. Observe as três carteiras hipotéticas abaixo.

alocação das carteiras A, B e C

As carteiras A, B e C têm diferentes alocações de três classes de ativos1:

  • Juros pós-fixados (investimento de renda fixa que remunera com base na Selic ou CDI);
  • Juros prefixados (investimento de renda fixa que remunera com base em uma taxa predefinida); e
  • Ações (investimento em uma cesta de ações que corresponde a um índice da bolsa brasileira).

Após fazer alguns cálculos que juntam conceitos da teoria de Markowitz com os históricos dos ativos é possível chegar à expectativa de retorno e à estimativa de volatilidade de cada carteira.

Suponha que, uma vez feitos os cálculos, obtemos os seguintes resultados:

 

Retorno esperado
(ao ano)
Volatilidade (risco)
(ao ano)
Carteira A  10%  1%
Carteira B 12%  3% 
Carteira C 14%  5% 

Agora, vamos visualizar essas informações em um gráfico de risco x retorno.

Risco x retorno das carteiras A, B e C

gráfico de risco e retorno das carteiras A, B e C

Se você tivesse que escolher uma das carteiras, qual seria?

Olhando para o retorno, você pode pensar que a carteira B é mais vantajosa que a A. Mas repare que o risco também aumenta, não apenas o retorno.

Ou seja, existe um trade-off entre as três carteiras. Um aumento no retorno esperado vem sempre acompanhado de algo indesejável: um aumento no risco. O trade-off é uma situação de conflito de escolha, a metáfora do cobertor curto. Não dá para cobrir os pés e o pescoço ao mesmo tempo. Não dá para ficar com o maior retorno e o menor risco ao mesmo tempo.

Felizmente, como vamos explicar a seguir, dá pra melhorar essa situação, em certo sentido aumentando o retorno da carteira sem aumentar o risco no mesmo nível.

Um almoço grátis

Bem, como estamos fazendo analogias gastronômicas, vale lembrar que se diz que em economia não existe almoço grátis. Ou seja, benefícios acarretam custos: para ganhar em um aspecto, você precisa sacrificar outro.

O princípio da inexistência do almoço grátis de fato vale na maioria das situações em economia e finanças, mas há exceções. Graças aos efeitos da diversificação, a construção de carteiras de investimento é uma delas.

Pense nas carteiras A, B e C como três pratos com receitas diferentes, cada uma com suas respectivas proporções de ingredientes — no caso, classes de ativos.

Podemos criar agora um novo prato, D, cuja receita é um meio-termo entre as receitas de A e C:

  • Juros pós-fixados: a carteira A contém 55% e C, 35%; então D terá 45%;
  • Juros prefixados: a carteira A contém 30% e C, 40%; então D terá 35%;
  • Ações: a carteira A contém 15% e C, 25%; então a carteira D terá 20%.

carteira D é a média das carteiras A e C

A carteira D é a média das carteiras A e C. Você imagina qual será o retorno esperado da carteira D? Como A tem retorno esperado de 10% e C, de 14%, então o retorno esperado da carteira D será igual a 12%, a média dos dois retornos.

Vimos como isso acontece no artigo Risco e retorno em investimentos: uma fábula de três moedas. Lá também contamos como a “mágica” da diversificação produz um efeito benéfico, e talvez um pouco surpreendente, no risco total da carteira.

Embora o retorno da carteira D corresponda à média das carteiras A e C, o risco de D será menor – ou seja, melhor – do que a média dos riscos de A e C, que seria de 3%. Então digamos, por exemplo, que a carteira D tenha risco de 2%2.

 

Retorno esperado
(ao ano)
Volatilidade (risco)
(ao ano)
Carteira A  10%  1%
Carteira B 12%  3% 
Carteira C 14%  5% 
Carteira D 12% 2%

Vale lembrar que esse efeito ocorre justamente porque as três classes de ativos não são totalmente correlacionadas entre si. As ações podem subir enquanto os juros prefixados caem; os juros prefixados podem cair enquanto os pós-fixados se mantem estáveis; e assim por diante.

Graficamente, como se vê na figura abaixo, a carteira D aparece acima da reta que liga as relações de risco e retorno das carteiras A e C.

Risco x retorno das carteiras A, B, C e D

gráfico de risco x retorno das carteiras A, B, C e D

Agora, existe sim uma carteira que é sem dúvida nenhuma melhor do que outra: a carteira D tem o mesmo retorno esperado, mas um risco menor, do que a carteira B. Ou seja, qualquer investidor minimamente racional vai considerar a D preferível à B – isso apesar de D e B terem sido criadas a partir dos mesmos ingredientes, as mesmas três classes de ativos.

Em outras palavras: não há trade-off entre D e B. A carteira D é melhor do que a carteira B e ponto. Em termos de risco e retorno, podemos dizer que encontramos um almoço grátis – ou pelo menos um prato que é sem dúvida mais saboroso que os outros, sem nenhum custo adicional!

Surge agora uma questão natural: pensando agora em todas as possíveis carteiras com retorno igual a 12%, o quanto conseguimos minimizar o seu risco? Note que há um limite para esse processo de aperfeiçoamento da receita: por mais habilmente que sejam misturados os  ingredientes, obviamente nunca vamos conseguir criar um carteira com retorno esperado 12% e risco zero!

A partir de modelos matemáticos de otimização, é possível calcular qual é a carteira que possui o menor risco possível entre todas as carteiras com retorno esperado igual a 12%. Chamemos essa carteira de E, e digamos que ela tem risco igual a 1,5%.

 

Retorno esperado
(ao ano)
Volatilidade (risco)
(ao ano)
Carteira A  10%  1%
Carteira B 12%  3% 
Carteira C 14%  5% 

Carteira D

12%

2%

Carteira E

12%

1,5%

Surge a fronteira eficiente

A fronteira eficiente de Markowitz começa a surgir a partir  — literalmente! — do ponto da carteira E.

Para cada nível de retorno possível, calculamos a carteira que minimiza o risco para esse retorno, e a colocamos num gráfico. Podemos fazer isso por exemplo para os retornos 10%, 11%, 12%, 13%, e 14%, como na figura abaixo.

A fronteira eficiente

gráfico da fronteira eficiente

Por definição, o ponto E e os quatro pontos negros do gráfico pertencem à fronteira eficiente, também conhecida como fronteira de Markowitz, em referência a Henry Markowitz, fundador da Teoria Moderna do Portfólio.

Repare que eles não ficam sobre uma reta, e sim sobre uma curva côncava, ou seja, virada pra baixo. Isso acontece justamente por causa do efeito diversificação que discutimos alguns parágrafos acima: dadas duas carteiras quaisquer, a diversificação garante que existem carteiras cuja relação risco-retorno fica acima da reta que liga essas duas carteiras.

Por isso também o nome de fronteira: as alocações cujo risco e retorno formam essa linha côncava são otimizadas, eficientes. São as “receitas” que entregam maior retorno para determinado nível de risco.

A conclusão, portanto, é que a fronteira de Markowitz forma uma curva côncava no plano de risco e retorno. (Para quem curte matemática: a fronteira é de fato uma hipérbole.)

Carteiras abaixo da fronteira eficiente

Dada uma carteira que fica na fronteira, não é possível melhorá-la de maneira definitiva: toda outra escolha de carteira exige uma diminuição de risco ou de retorno. Quando a escolha se dá entre carteiras da fronteira, há sempre um trade-off: temos que sacrificar o retorno esperado para diminuir o risco, ou correr mais risco para aumentar o retorno esperado.

Bem, e quanto às carteiras que ficam abaixo da fronteira? Elas podem ser melhoradas. Basta caminhar um pouco na direção da fronteira: subir um pouco na figura, aumentando o retorno, ou caminhar um pouco pra esquerda, diminuindo o risco, ou ambos. É por isso que dizemos que as carteiras que ficam abaixo da fronteira não são eficientes.

Carteiras não otimizadas: abaixo da fronteira eficiente

gráfico mostra carteira abaixo da fronteira eficiente

Qual é a melhor das receitas, afinal?

Bem, de uma coisa podemos ter certeza: não faz sentido escolher uma carteira de investimentos que fica abaixo da fronteira eficiente, porque essas todas podem ser melhoradas.

Posto de outra maneira, vale sempre a pena escolher uma carteira eficiente, que fica na fronteira. Mas qual delas?

A resposta está na sua tolerância ao risco. Se você está disposto a aceitar mais risco em troca de um possível maior retorno, a carteira ideal pra você estará em um ponto mais à direita da fronteira. Se, ao contrário, você prefere ganhos mais modestos com menor risco, a melhor carteira para você estará mais à esquerda da fronteira.

A carteira inteligente da Vérios

Na Vérios, estabelecemos 5 níveis de risco, e para cada um deles há uma alocação eficiente. Os ingredientes da receita são títulos pós-fixados, prefixados, de inflação, ações da bolsa brasileira e da bolsa americana. Para descobrir a alocação eficiente recomendada para o seu perfil e nível de tolerância ao risco, simule uma carteira de investimento.

***

Este artigo trata de um assunto bem técnico, daí a opção por escrevê-lo de um jeito simplificado, para que você, como investidor, possa compreender como funciona a otimização de uma carteira de investimentos mesmo se não tiver muita afinidade com matemática. Se ficou alguma dúvida, deixe seu comentário; ficaremos felizes em respondê-lo.

1Na Vérios, a diversificação de carteira ocorre entre cinco classes de ativos. Além das mencionadas no exemplo, utilizamos também ações da bolsa americana e títulos indexados à inflação. Quanto maior o número de classes descorrelacionadas, melhor funciona a otimização da carteira de investimentos.

2“Mas de onde veio o 2%?”, você pode se perguntar. A definição do risco da carteira envolve diversos cálculos, os quais optamos por omitir aqui, até por se tratarem de carteiras hipotéticas com risco e retorno hipotéticos. O importante é que, na medida em que se diversifica uma carteira, o risco, ao contrário do retorno, varia de maneira não-linear.

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